提前说明：我是国内几个工科专业的数学渣。 当我看到有大量符号的教科书时，我会感到头疼，因此我可能在理解和表达一些数学概念时遇到问题。 我希望从更好理解的角度出发，尽力解释一些费了很大功夫才理解的概念。
本文要点：
(1)什么是解析函数； 复变量函数的可微性和可微性的概念，以及何时可微和可微；
(2)复变函数导数的几何意义；
(3)常见初等解析函数的性质。
解析函数及相关定理
我们将区域 G 中每个点都可微的复函数称为全纯函数（另一种说法是解析函数，这似乎没有什么区别）。 下面讨论复函数的可微性质，从而引出全纯函数的一个重要性质：CR方程。
设复变量函数 w=f(z) 为区域 G 中的单值函数
可微：w=f(z)在G中z点可微，存在\lim_{z \ 0}{\frac{\Delta w}{\Delta z}}=\lim_{z \ 0}{\ frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}} ，极限值记为 f'(z)。
可微：w=f(z)在G中z点可微，则函数在z点\Delta w=f(z+\Delta z)-f(z)的变化可写为\Delta w=A ( z)\Delta z+\rho(\Delta z) ，其中\lim_{z \ 0}{\frac{\rho(\Delta z)}{\Delta z}}=0。 线性部分A(z)\Delta z称为函数在z处的微分，记为dw=A(z)dz。
可以证明，充要条件是函数可微且在z点可微，且A(z)=f'(z)，即dw=f'(z)dz。
需要强调的一点是，上面 \lim_{z \ 0}{\frac{\Delta w}{\Delta z}} 的存在意味着 \Delta z 可以以任何方式逼近 0，而不影响极限值。 下面证明，要满足这一点，需要两个条件 (1) 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 的实部和虚部在 z 点可微; (2)功能满足CR条件。
(1) 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x+iy 在 z_{0}=x_{0}+iy_{0} 处可微，即 \begin {align} dw=f(z)-f(z_0)&=\left(\frac{\ u}{\ x}(x_0,y_0)+\ i\frac{\ v}{\ x}(x_0, y_0)\right)\Delta x+\left(\frac{\ u}{\ y}(x_0,y_0)+\ i\frac{\ v}{\ y}(x_0,y_0)\right)\Delta y \\ &=\frac{\ f}{\ x}(x_0,y_0)\Delta x+\frac{\ f}{\ y}(x_0,y_0)\Delta y\\ \end{对齐}
然后将下面的公式代入\Delta x=\frac 12(\Delta z+\{\Delta z}),\Delta y=-\frac 12\ i(\Delta z-\{\Delta z})，算子\ frac{\}{\ z}=\\left(\frac{\}{\ x}-\ i\frac{\}{\ y}\right),\frac{\}{\ \ z}= \ \left(\frac{\}{\ x}+\ i\frac{\}{\ y}\right) ,
得到 dw=f(z)-f(z_0)=\frac{\ f}{\ z}(z_0)\Delta z+\frac{\ f}{\ \ z}(z_0)\{\Delta z} ( \ast）。
(2) 当\frac{\ f}{\ \ z}(z_0)=0时，即CR条件\begin{cases} \\frac{\ u}{\ x}=\frac{\ v}{ \ y }\\ \\frac{\ v}{\ x}=-\frac{\ u}{\ y}\\ \end{cases}，极限\lim_{z \ 0}可以由(\ast) 公式 {\frac{\Delta w}{\Delta z}} 永远存在。
CR条件反映了解析函数的实部和虚部之间的关系。 此外，任何函数都可以用作解析函数的实部和虚部吗？ 答案是不。 后续章节将证明解析函数实部和虚部的二阶函数存在且连续。 将此条件与CR条件结合起来，很容易证明实部和虚部也满足二维拉普拉斯方程，即\Delta f=0，（定义算子\Delta=\frac{\ ^2}{\ x^2 }+\frac{\^2}{\ y^2})。 我们将满足该方程的函数称为调和函数。
导数的几何意义
仔细观察这个公式：dw=f'(z)dz。 这三个元素都是复数。 因此，根据复数的含义，可以推导出两个公式： \left| dw \right|=\left|f'( z) \right|\left|dz \right| ，arg(dw)=arg(f'(z))+arg(dz)。 即导数的模是从 dz 到 dw 的缩放因子，导数的自变量是从 dz 的自变量到 dw 的自变量的增量。
初等解析函数
下面将介绍：幂函数、指数函数、三角函数、根函数、对数函数。 实数域中的许多性质可以直接推广到复数域。 下面重点介绍它们在复数领域的独特特性。
1. 幂函数
好像没什么特别的
2. 指数函数
定义复指数幂：\ e^{x+\ iy}=\ e^x(\cos y+\ i\sin y),x,y\in\ R。当x=0时，我们得到使我我看到的时候惊呆了：
\e^{\ iy}=\cos y+\ i\sin y\\
可见f(z)=\e^z是复变函数中的指数函数。 很容易证明以下性质：
(1) f(z)是解析函数，f'(z)=\e^z=f(z)；
(2) f(z_1)f(z_2)=f(z_1+z_2);
(3) f(z+2\pi\i)=f(z) 。
3. 三角函数
借助欧拉公式，我们定义：
\sin z=\frac 1{2\ i}(\ e^{\ iz}-\ e^{-\ iz}),\cos z=\frac 12(\ e^{\ iz}+\ e^ {-\ iz}), \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}
导数运算的性质可以直接推广，没有什么特别之处。
下面两个是多值函数
4. 根式函数
以函数 w=\sqrt{za} 为例，让我们思考一下复杂的多值函数
改为极坐标形式， w=\rho e^{i\phi},za=re^{i\theta} 。 代入\rho^{2}e^{i2\phi}=re^{i\theta}。 F：
\ \rho=\sqrt{r},\phi=\frac{\theta}{2}+n\pi,n=0,\pm1,\pm2... 可见多值性质来了从论证角度。 价值。
关于多值性的进一步讨论，可以观看下面的视频，图文并茂，非常清晰。
5. 对数函数
假设z\in\C，若\e^w=z，则称w为z的对数，记为w=\{Log}\z。
假设z=r\ e^{\ i\theta}，w=x+\ iy，则可得x=\ln r,y=\theta+2k\pi。 即w=\ln|z|+\i\{Arg}\z。 这是一个多值函数。
至于多个值的讨论，请看上面的视频。
最后一部分写的比较乱，等我明白了再补充。